量子力学概論（その１０） - 場の量子論を制覇しよう！

　現在２０２３年４月２６日１１時１２分である。（この投稿は、ほぼ５９４７文字）

麻友「エネルギーの式を、導く？」

私「いよいよ、ブログに、書こうと思った瞬間、『ハッ、これ、書いたことある』と、思った。これだ」

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麻友「太郎さん。エネルギーの式を、

$E=\frac{mc^2}{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{v^2}{c^2}}}$

と、お父さんの前でも、今回も、見せてくれたじゃない」

私「うん」

麻友「このルートが、やっかいじゃない。両辺自乗しちゃったら？　こういう風に

$E^2=\frac{m^2c^4}{\displaystyle 1-\frac{v^2}{c^2}}$

どう？」

私「その線で行くと、もっと行かれる。エネルギーの他に、運動量というものが、あるんだ。これは、フィギュアスケートの試合で運動した量という意味のものではなく、エネルギーと同様に、

$p=\frac{mv}{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{v^2}{c^2}}}$

と、定義されるものだ。質量掛ける速度に、ほぼ等しい。ルートの中が、相対性理論による補正項」

麻友「つまり、普通は、

${p=mv}$

ということ？」

私「そういうこと。さて、麻友さんが外した、ルートと同様、これも、自乗する。

$p^2=\frac{m^2v^2}{\displaystyle 1-\frac{v^2}{c^2}}$

分母をはらう。

$p^2\biggl( 1-\frac{v^2}{c^2} \biggr)=m^2v^2$

右辺を、分母分子に ${c^2}$ をかけて変形。

$p^2\biggl( 1-\frac{v^2}{c^2} \biggr)=m^2c^2\frac{v^2}{c^2}$

$\frac{v^2}{c^2}$ で、まとめて、

$p^2-p^2\frac{v^2}{c^2}=m^2c^2\frac{v^2}{c^2}$

$p^2=\biggl( p^2+m^2c^2 \biggr) \frac{v^2}{c^2}$

割り算して、

$\frac{p^2}{p^2+m^2c^2}=\frac{v^2}{c^2}$

　これを、次の式に代入。

$1-\frac{v^2}{c^2}=1-\frac{p^2}{p^2+m^2c^2}=\frac{p^2+m^2c^2}{p^2+m^2c^2}-\frac{p^2}{p^2+m^2c^2}=\frac{m^2c^2}{p^2+m^2c^2}$

　さて、この結果を、麻友さんの自乗した式に代入すると、

$E^2=\frac{m^2c^4}{\displaystyle 1-\frac{v^2}{c^2}}=\frac{m^2c^4}{\displaystyle \frac{m^2c^2}{p^2+m^2c^2}}$

　　　　 ${=c^2(p^2+m^2c^2)=p^2c^2+m^2c^4}$

となる。この最後の式、

$E^2=p^2c^2+m^2c^4$

これが、エネルギーの厳密な式だ。この計算は、放送大学の相対論の教科書を参考にした。

岡村浩『相対論』（放送大学教育振興会）

相対論 (放送大学教材)

作者:岡村浩
放送大学教育振興会

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麻友「もう、速さ ${v}$ は、現れないのね」

私「そうなんだ。私が、２０１３年に、質量再定義のための、論文を発表しようとしたとき、Ｘ指定の親友から、運動量は保存量だが、速度は保存量ではないから、このままでは、測定できないと、言われた。私に取っては、測定できないなどという概念に慣れていなかったので、目から鱗だった」

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　　　　　　　　　　　　　　　　（力学のブログの以下の投稿より）

mechanics.hatenablog.com

若菜「お父さん、痴呆が進んでいると、悩んでいない？」

私「もう、半分、諦めた」

麻友「Ｘ指定の親友と、言ってた頃ですものね。本当は、藤田さん。論文を、見てくれたの？」

私「ビッシリコメントを、書いてくれた」

結弦「例えば？」

私「『異論もあろうが、私は、こう思う』と、書いたら、『異論が、予想されるなら、全部書き上げて、論破せよ』とか」

結弦「修士課程出てる人は、恐ろしい」

若菜「その論文は？」

私「不確定性原理で、質量が測定できるという論文だったけど、余りにも小さい値を測定しなければ、ならなくて、実験にかからないと、判断して、発表はしなかった」

麻友「捨てちゃったの？」

私「相対論のブログの『私の文献』のリンクに、『質量の再定義についての一つの提案』というワードのファイルで、保存しては、あるけど、文字化けもあるから、見なくて良いよ」

若菜「お父さん。実は、何本も、論文書いているんだ」

私「世の中に、認められていないんじゃなくて、単に、レヴェルが低いんだ」

麻友「どうすれば、レヴェルが、上がるの？」

私「少なくとも、もっと難しい数学や物理学の文献を、読まなきゃ」

結弦「例えば？」

私「ランダウとか」

結弦「そうなんだね」

麻友「ここは、太郎さんの学んだことを、発表する場なんだものね。もっと吐き出させなきゃ」

私「さて、テキスト本文」

麻友「テキスト真ん中辺り、『光電効果を理解するために提案された光量子は光の速度 ${c}$ で動き回る．したがって，アインシュタインの相対性理論から光子の静止質量は ${0}$ であることが導かれる．』って、書いてあるけど、どうして静止質量は ${0}$ だって、導けるの？」

私「これは、最初は、面食らうかもね。ルート付きの、エネルギーの式を、思い出してみて？」

麻友「こう。

$E=\frac{mc^2}{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{v^2}{c^2}}}$

だったわね」

私「粒子の速さが、光速度。つまり、 ${v=c}$ と、すると？」

麻友「

$E=\frac{mc^2}{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{c^2}{c^2}}}=\frac{mc^2}{0}$

あっ、分母が、 ${0}$ になっちゃう。もし分子が、 ${0}$ でなかったら、無限大になっちゃう」

私「そう。だから、質量 ${m}$ は、 ${0}$ のはずだと、相対性理論から、結論される」

麻友「この式は、相対性理論の式？　お父さんは、ローレンツ変換の式だと言ってたけど」

私「物理学で、普通、ローレンツ変換の式という。物理学では、ややこしくて、ローレンツという物理学者が、２人もいる。私の戦友から教えてもらったことで、以下のページにも書いてある」

eman-physics.net

麻友「太郎さん。ここまで、アンテナ伸ばしてるの？」

私「いやこれは、ネットで、簡単に引っ掛かるんだ」

麻友「太郎さんは、ネットをどれくらい使ってる？」

私「私は、１９７１年生まれだろう。デジタルネイティブ世代は、１９７０年代後半からだから、本当は、付いて行かれてない。ただ、色々と幸運が、重なった。父が、Z-８０のマイコンを、自作するほどのコンピューター好き。家族が、家電製品が、上手く動かないと、『たろちゃん、なんとかして』と来るので、メカに強くなる。物理学科を目指したので、当然理系。パソコンは、PC-8001、PC-9801VM21、ここで、発病するが、インターネットが、出来たときには、父が、『インターネットについて、レポートを書け』。当時は、PC-9821Asを使ってた。そして、１９９５年、Windows95」

麻友「えっ、Windows の前って、何だったの？」

私「N-BASIC、N88-BASIC、MS-DOS版BASIC、色々ありましたよ」

麻友「それは、プログラミング言語でしょう」

私「それは、そうだけど、麻友さんが生まれる前の、私の頃、OS（オペレーティングシステム）を、変えるなんていう概念は、なかったんだ」

麻友「そっか、私も、アイドルで、忙しかったから、パソコンとじっくり向き合う時間もなかったけど、インターネット以前というのは、時間あったんでしょうね」

私「そう思っていたんだけど、勉強ばっかりしていたのかな？　って、思い返すと、結構ゲームをやってた。あんなにゲームやってなきゃ、浪人しなかったかもな、などとも思う」

麻友「小林りんさんが、先々週の朝日新聞で、『ギャップイヤー』の必要性を、説いていたじゃない」